На главную страницу

WWW.JVC-SITE.RU:

Библиотека электронных
изданий «Уникум»

Справочник по математике
для научных работников и инженеров
(Г. Корн, Т. Корн.)

СОДЕРЖАНИЕ

Перечень таблиц ............................... 20

Предисловие переводчиков....................... 23

Из предисловия авторов ко второму американскому изданию 25

ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ
И ТРИГОНОМЕТРИЯ (ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ)

1.1. Введение. Система действительных чисел......... 27

1.1‑1. Вводные замечания (27). 1.1‑2. Действительные числа (27). 1.1‑3. Отношение равенства (28). 1.1‑4. Отношение тождества (28). 1.1‑5. Неравенства (28). 1.1‑6. Абсолютные величины (28).

1.2. Степени, корни, логарифмы и факториалы. Обозначения сумм и произведений 28

1.2‑1. Степени и корни (28). 1.2‑2. Формулы для уничтожения иррациональности в знаменателе дроби (29). 1.2‑3. Логарифмы (29). 1.2‑4. Факториалы (30). 1.2‑5. Обозначения сумм и произведений (30). 1.2‑6. Арифметическая прогрессия (30). 1.2‑7. Геометрическая прогрессия (30). 1.2‑8. Некоторые числовые суммы (31).

1.3. Комплексные числа.......................... 31

1.3‑1. Вводные замечания (31). 1.3‑2. Изображение комплексных чисел точками или радиусами-векторами. Тригонометрическая форма комплексного числа (32). 1.3‑3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни (32).

1.4. Различные формулы.......................... 33

1.4‑1. Бином Ньютона и родственные формулы (33). 1.4‑2. Пропорции (34). 1.4‑3. Многочлены. Симметрические функции (34).

1.5. Определители .............................. 35

1.5‑1. Определение (35). 1.5‑2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или по столбцу (35). 1.5‑3. Примеры. (35). 1.5‑4. Дополнительные миноры. Разложение Лапласа (36). 1.5‑5. Различные теоремы (36). 1.5‑6. Умножение определителей (37). 1.5‑7. Изменение порядка определителей (37).

1.6. Алгебраические уравнения: общие теоремы........ 37

1.6‑1. Вводные замечания (37). 1.6‑2. Решение уравнения. Корни (37). 1.6‑3. Алгебраические уравнения (37). 1.6‑4. Соотношения между корнями и коэффициентами (38). 1.6‑5. Дискриминант алгебраического уравнения (38). 1.6‑6. Действительные алгебраические уравнения и их корни (39).

1.7. Разложение многочленов на множители и деление многочленов. Элементарные дроби 41

1.7‑1. Разложение многочленов на множители (41). 1.7‑2. Деление многочленов. Остаток (41). 1.7‑3. Общие делители и общие корни двух много членов (41). 1.7‑4. Разложение на элементарные дроби (42).

1.8. Линейные, квадратные, кубичные уравнения и уравнения четвертой степени 43

1.8‑1. Решение линейных уравнений (43). 1.8‑2. Решение квадратных уравнений (43). 1.8‑3. Кубичные уравнения: решение Кардано (43). 1.8‑4. Кубичные уравнения: тригонометрическое решение (44). 1.8‑5. Уравнения четвертой степени: решение Декарта — Эйлера (44). 1.8‑6. Уравнения четвертой степени: решение Феррари (44).

1.9. Системы уравнений.......................... 45

1.9‑1. Системы уравнений (45). 1.9‑2. Системы линейных уравнений: правило Крамера (45). 1.9‑3. Линейная независимость (45). 1.9‑4. Системы линейных уравнений: общая теория (46). 1.9‑5. Системы линейных уравнений: η однородных уравнений с η неизвестными (46).

1.10. Формулы, описывающие плоские фигуры и тела ... 47

1.10‑1. Трапеция (47). 1.10‑2. Правильные многоугольники (48). 1.10‑3. Круг (48). 1.10‑4. Призмы, пирамиды, цилиндры и конусы (48). 1.10‑5. Тела вращения (48). 1.10‑6. Правильные многогранники (49).

1.11. Тригонометрия на плоскости.................. 49

1.11‑1. Вводные замечания. Прямоугольные треугольники (49). 1.11‑2. Свойства плоских треугольников (50). 1.11‑3. Формулы для решения треугольников (50).

1.12. Сферическая тригонометрия................... 51

1.12‑1. Введение. Сферические треугольники (51). 1.12‑2. Свойства сферических треугольников (52). 1.12‑3. Прямоугольный сферический треугольник (53). 1.12‑4. Формулы для решения сферических треугольников (53).

ГЛАВА 2
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

2.1. Введение и основные понятия .................. 56

2.1‑1. Вводные замечания (56). 2.1‑2. Декартова система координат (56). 2.1‑3. Правая декартова прямоугольная система координат (57). 2.1‑4. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах (57). 2.1‑5. Преобразование декартовых координат при параллельном переносе осей (58). 2.1‑6. Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей (58). 2.1‑7. Одновременный перенос и поворот координатных осей (58). 2.1‑8. Полярные координаты (59). 2.1‑9. Способы задания кривых (60).

2.2. Прямая линия............................... 60

2.2‑1. Уравнение прямой линии (60). 2.2‑2. Другие способы задания прямой (61).

2.3. Взаимное расположение точек и прямых.......... 62

2.3‑1. Точки и прямые (62). 2.3‑2. Две или несколько прямых (62). 2.3‑3. Тангенциальные координаты (63).

2.4. Кривые второго порядка (конические сечения) ..... 64

2.4‑1. Общее уравнение второй степени (64). 2.4‑2. Инварианты (64). 2.4‑3. Классификация кривых второго порядка (64). 2.4‑4. Условие подобия невырожденных кривых второго порядка (64). 2.4‑5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение (64). 2.4‑6. Центры и диаметры кривых второго порядка (64). 2.4‑7. Главные оси (66). 2.4‑8. Приведение уравнения кривой второго порядка к стандартному (каноническому) виду (66). 2.4‑9. Геометрическое определение невырожденной кривой второго порядка (67). 2.4‑10. Касательные и нормали к кривым второго порядка. Полюсы и поляры (67). 2.4‑11. Другие способы задания кривых второго порядка (69).

2.5. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол 70

2.5‑1. Окружность: формулы и теоремы (70). 2.5‑2. Эллипс и гипербола: формулы и теоремы (70). 2.5‑3. Построение эллипсов и гипербол, их касательных и нормалей (71). 2.5‑4. Построение параболы, ее касательных и нормалей (73).

2.6. Уравнения некоторых плоских кривых ........... 73

2.6‑1. Примеры алгебраических кривых (73). 2.6‑2. Примеры трансцендентных кривых (74).

ГЛАВА 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

3.1. Введение и основные понятия .................. 76

3.1‑1. Вводные замечания (76). 3.1‑2. Декартова система координат (76). 3.1‑3. Правая система осей (76). 3.1‑4. Правая декартова прямоугольная система координат (76). 3.1‑5. Радиус-вектор (77). 3.1‑6. Цилиндрическая и сферическая системы координат (77). 3.1‑7. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах и в векторной форме (77). 3.1‑8. Направляющие косинусы (78). 3.1‑9. Проекции (79). 3.1‑10. Вектор площади (79). 3.1‑11. Вычисление объемов (79). 3.1‑12. Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном переносе и повороте осей (79). 3.1‑13. Аналитическое задание кривых (81). 3.1‑14. Способы задания поверхностей (81). 3.1‑15. Специальные типы поверхностей (82). 3.1‑16. Поверхности и кривые (82).

3.2. Плоскость ................................. 83

3.2‑1. Уравнение плоскости (83). 3.2‑2. Параметрическое задание плоскости (84).

3.3. Прямая линия............................... 84

3.3‑1. Уравнения прямой (84). 3.3‑2. Параметрические уравнения прямой (85).

3.4. Взаимное расположение точек, плоскостей и прямых. 85

3.4‑1. Углы (85). 3.4‑2. Расстояния (86). 3.4‑3. Специальные случаи взаимного расположения точек, прямых и плоскостей (87). 3.4‑4. Тангенциальные координаты плоскости и принцип двойственности (88). 3.4‑5. Некоторые дополнительные соотношения (88).

3.5. Поверхности второго порядка................... 89

3.5‑1. Общее уравнение второй степени (89). 3.5‑2. Инварианты (89). 3.5‑3. Классификация поверхностей второго порядка (89). 3.5‑4. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение (89). 3.5‑5. Диаметральные плоскости, диаметры и центры поверхностей второго порядка (91). 3.5‑6. Главные плоскости и главные оси (91). 3.5‑7. Приведение уравнения поверхности второго порядка к стандартному (каноническому) виду (92). 3.5‑8. Касательные плоскости и нормали поверхности второго порядка. Полюсы и поляры (93). 3.5‑9. Некоторые дополнительные формулы и теоремы (96). 3.5‑10. Параметрическое задание поверхностей второго порядка (97).

ГЛАВА 4
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4.1. Введение.................................. 93

4.2. Функции.................................. 93

4.2‑1. Функции и переменные (98). 4.2‑2. Функции со специальными свойствами (99).

4.3. Точечные множества, интервалы и области........ 99

4.3‑1. Вводные замечания (99). 4.3‑2. Свойства множеств (100). 4.3‑3. Границы (100). 4.3‑4. Интервалы (101). 4.3‑5. Определение окрестностей (101). 4.3‑6. Открытые и замкнутые множества и области (101).

4.4. Пределы, непрерывные функции и смежные вопросы 102

4.4‑1. Пределы функций и последовательностей (102). 4.4‑2. Операции над пределами (103). 4.4‑3. Асимптотические соотношения между двумя функциями (103). 4.4‑4. Равномерная сходимость (104). 4.4‑5. Пределы по совокупности переменных и повторные пределы (104). 4.4‑6. Непрерывные функции (104). 4.4‑7. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность (105). 4.4‑8. Монотонные функции и функции ограниченной вариации (106).

4.5. Дифференциальное исчисление................. 107

4.5‑1. Производные и дифференцирование (107). 4.5‑2. Частные производные (107). 4.5‑3. Дифференциалы (109). 4.5‑4. Правила дифференцирования (110). 4.5‑5. Однородные функции (112). 4.5‑6. Якобианы и функциональная зависимость (112). 4.5‑7. Неявные функции (112).

4.6. Интегралы и интегрирование................... 113

4.6‑1. Определенные интегралы (интеграл Римана) (113). 4.6‑2. Несобственные интегралы (115). 4.6‑3. Среднее значение (117). 4.6‑4. Неопределенные интегралы (117). 4.6‑5. Основная теорема интегрального исчисления (117). 4.6‑6. Методы интегрирования (117). 4.6‑7. Эллиптические интегралы (119). 4.6‑8. Кратные интегралы (119). 4.6‑9. Длина дуги спрямляемой кривой (120). 4.6‑10. Криволинейные интегралы (120). 4.6‑11. Площади и объемы (121). 4.6‑12. Интегралы по поверхности и по объему (122). 4.6‑13. Замена переменных в интегралах по объему и по поверхности (123). 4.6‑14. Мера Лебега. Измеримые функции (123). 4.6‑15. Интеграл Лебега (124). 4.6‑16. Теоремы о сходимости (теоремы о непрерывности) (126). 4.6‑17. Интеграл Стилтьеса (126). 4.6‑18. Свертки (128). 4.6‑19. Неравенства Минковского и Гельдера (128).

4.7. Теоремы о среднем значении. Раскрытие неопределенностей. Теоремы Вейерштрасса о приближении ...................................... 129

4.7‑1. Теоремы о среднем значении (129). 4.7‑2. Раскрытие неопределенностей (130). 4.7‑3. Теоремы Вейерштрасса о приближении (131).

4.8. Бесконечные ряды, бесконечные произведения и непрерывные дроби 131

4.8‑1. Бесконечные ряды. Сходимость (131). 4.8‑2. Ряды функций. Равномерная сходимость (132). 4.8‑3. Операции над сходящимися рядами (132). 4.8‑4. Операции над бесконечными рядами функций (133). 4.8‑5. Улучшение сходимости и суммирование рядов. Суммы некоторых рядов (134). 4.8‑6. Расходящиеся бесконечные ряды (136). 4.8‑7. Бесконечные произведения (137). 4.8‑8. Непрерывные (цепные) дроби (138).

4.9. Признаки сходимости и равномерной сходимости бесконечных рядов и несобственных интегралов ......................................... 139

4.9‑1. Признаки сходимости бесконечных рядов (139). 4.9‑2. Признаки равномерной сходимости бесконечных рядов (140). 4.9‑3. Признаки сходимости несобственных интегралов (140). 4.9‑4. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов (142).

4.10. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их интегралом. Степенные ряды и ряд Тейлора................................... 142

4.10‑1. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их интегралом (142). 4.10‑2. Степенные ряды (143). 4.10‑3. Теоремы Абеля и Таубера (145). 4.10‑4. Ряд Тейлора (145). 4. 10‑5. Кратный ряд Тейлора (146).

4.11. Ряды Фурье и интегралы Фурье................ 146

4.11‑1. Вводные замечания (146). 4.11‑2. Ряды Фурье (146). 4.11‑3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье (148). 4.11‑4. Функции, разложимые в ряд Фурье и представимые интегралом Фурье. Гармонический анализ (149). 4.11‑5. Некоторые свойства коэффициентов Фурье и преобразования Фурье (156). 4.11‑6. Интегралы Дирихле и Фейера (157). 4.11‑7. Суммирование средними арифметическими (160). 4.11‑8. Кратные ряды и интегралы Фурье (160).

ГЛАВА 5
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

5.1. Векторы в евклидовом пространстве............. 162

5.2. Векторная алгебра ........................... 162

5.2‑1. Сложение векторов и умножение вектора на (действительный) скаляр (162). 5.2‑2. Разложение векторов по базисным векторам (163). 5.2‑3. Декартовы прямоугольные координаты вектора (163). 5.2‑4. Векторы и физические размерности (163). 5.2‑5. Модуль (норма, абсолютная величина, длина) вектора (164). 5.2‑6. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов (164). 5.2‑7. Векторное произведение двух векторов (164). 5.2‑8. Смешанное (векторно-скалярное) произведение (165). 5.2‑9. Другие произведения, содержащие более двух векторов (166). 5.2‑10. Разложение вектора а по направлению единичного вектора u и ему перпендикулярному (166). 5.2‑11. Решение уравнений (166).

5.3. Векторные функции скалярного аргумента......... 166

5.3‑1. Векторные функции и их пределы (166). 5.3‑2. Дифференцирование (166). 5.3‑3. Интегрирование и обыкновенные дифференциальные уравнения (167).

5.4. Скалярные и векторные поля................... 168

5.4‑1. Вводные замечания (168). 5.4‑2. Скалярные поля (168). 5.4‑3. Векторные поля (168). 5.4‑4. Векторный элемент линии и длина дуги (168). 5.4‑5. Криволинейные (линейные) интегралы (169). 5.4‑6. Поверхностные интегралы (169). 5.4‑7. Объемные интегралы (170).

5.5. Дифференциальные операторы.................. 170

5.5‑1. Градиент, дивергенция и ротор; инвариантные определения (170). 5.5‑2. Оператор Ñ (171). 5.5‑3. Полный дифференциал, полная производная и производная по направлению (172). 5.5‑4. Производные высших порядков по направлению. Ряд Тейлора (173). 5.5‑5. Оператор Лапласа (173). 5.5‑6. Операции второго порядка (173). 5.5‑7. Операции над простейшими функциями от r (174). 5.5‑8. Функции от двух и более радиусов-векторов (174).

5.6. Интегральные теоремы........................ 175

5.6‑1. Теорема о дивергенции и связанные с ней теоремы (175). 5.6‑2. Теорема о роторе и связанные с ней теоремы (176). 5.6‑3. Поля с разрывами на поверхностях (176).

5.7. Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции 175

5.7‑1. Безвихревое векторное поле (176). 5.7‑2. Соленоидальные (трубчатые) векторные поля (177). 5.7‑3. Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции (177).

ГЛАВА 6
СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ

6.1. Вводные замечания.......................... 179

6.2. Системы криволинейных координат............. 179

6.2‑1. Криволинейные координаты (179). 6.2‑2. Координатные поверхности
и координатные линии (179). 6.2‑3. Элементы длины дуги и объема (179).

6.3. Криволинейные координаты вектора............. 180

6.3‑1. Координаты вектора и локальный (местный) базис (180). 6.3‑2. Физические координаты вектора (182). 6.3‑3. Контравариантные и ковариантные координаты вектора (182). 6.3‑4. Запись векторных соотношений в криволинейных координатах (183).

6.4. Системы ортогональных координат. Векторные соотношения в ортогональных координатах 183

6.4‑1. Ортогональные координаты (183). 6.4‑2. Векторные соотношения (184). 6.4‑3. Криволинейный интеграл, поверхностный интеграл и объемный интеграл (185).

6.5. Формулы для специальных систем ортогональных координат 185

ГЛАВА 7
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

7.1. Вводные замечания.......................... 197

7.2. Функции комплексного переменного. Области в комплексной плоскости 197

7.2‑1. Функции комплексного переменного (197). 7.2‑2. z-плоскость и ω-плоскость. Окрестности. Бесконечно удаленные точки (197). 7.2‑3. Кривые и контуры (200). 7.2‑4. Границы и области (200). 7.2‑5. Комплексные контурные интегралы (200).

7.3. Аналитические (регулярные, голоморфные) функции. 201

7.3‑1. Производная функция (201). 7.3‑2. Уравнения Коши — Римана (201). 7.3‑3. Аналитические функции (202). 7.3‑4. Свойства аналитических функций (202). 7.3‑5. Теорема о максимуме модуля (203).

7.4. Многозначные функции....................... 203

7.4‑1. Ветви (203). 7.4‑2. Точки разветвления и разрезы (203). 7.4‑3. Римановы поверхности (204).

7.5. Интегральные теоремы и разложения в ряды....... 205

7.5‑1. Интегральные теоремы (205). 7.5‑2. Разложение в ряд Тейлора (206). 7.5‑3. Разложение в ряд Лорана (206).

7.6. Нули и изолированные особые точки............. 207

7.6‑1. Нули (207). 7.6‑2. Особые точки (207). 7.6‑3. Нули и особенности в бесконечности (209). 7.6‑4. Теоремы Вейерштрасса и Пикара (209). 7.6‑5. Целые функции (209). 7.6‑6. Разложение целой функции в произведение (210) 7.6‑7. Мероморфные функции (210). 7.6‑8. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (211). 7.6‑9. Нули и полюсы мероморфных функций (211).

7.7. Вычеты и контурные интегралы................. 211

7.7‑1. Вычеты (211). 7.7‑2. Теорема о вычетах (212). 7.7‑3. Вычисление определенных интегралов (212). 7.7‑4. Применение вычетов к суммированию рядов (213).

7.8. Аналитическое продолжение................... 214

7.8‑1. Аналитическое продолжение и моногенные аналитические функции (214). 7.8‑2. Методы аналитического продолжения (214).

7.9. Конформное отображение..................... 215

7.9‑1. Конформное отображение (215). 7.9‑2. Дробно-линейное отображение (преобразование) (216). 7.9‑3. Отображение (217).

7.9‑4. Интеграл Шварца — Кристоффеля (217). 7.9‑5. Таблица отображений (218). 7.9‑6. Функции, отображающие специальные области на единичный круг (227).

ГЛАВА 8
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

8.1. Вводные замечания.......................... 223

8.2. Преобразование Лапласа...................... 223

8.2‑1. Определение (228). 8.2‑2. Абсолютная сходимость (228). 8.2‑3. Область определения (229). 8.2‑4. Достаточные условия существования преобразования Лапласа (229). 8.2‑5. Обратное преобразование Лапласа (229). 8.2‑6. Теорема обращения (229). 8.2‑7. Существование обратного преобразования Лапласа (230). 8.2‑8. Единственность преобразования Лапласа и его обращения (230).

8.3. Соответствие между операциями над оригиналами и изображениями 230

8.3‑1. Таблица соответствия операций (230). 8.3‑2. Преобразования Лапласа периодических функций и произведений оригиналов на синус или косинус (230). 8.3‑3. Преобразование произведения (теорема о свертке) (233). 8.3‑4. Предельные теоремы (233).

8.4. Таблицы преобразования Лапласа и вычисление обратных преобразований Лапласа 234

8.4‑1. Таблицы преобразования Лапласа (234). 8.4‑2. Вычисление обратных преобразований Лапласа (234). 8.4‑3. Применение контурного интегрирования (234). 8.4‑4. Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций: разложение Хевисайда (234). 8.4‑5. Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций: разложение на простейшие дроби (252). 8.4‑6 Разложения в ряды (252). 8.4‑7. Разложения по степеням t (253). 8.4‑8. Разложения по многочленам Лагерра (253). 8.4‑9. Разложения в асимптотические ряды (254).

8.5. Формальное преобразование Лапласа импульсных функций 255

8.6. Некоторые другие функциональные преобразования.. 256

8.6‑1. Вводные замечания (256). 8.6‑2. Двустороннее преобразование Лапласа (256). 8.6‑3. Преобразование Лапласа в форме интеграла Стилтьеса (256). 8.6‑4. Преобразования Ганкеля и Фурье — Бесселя (258).

8.7. Конечные интегральные преобразования, производящие функции и z‑преобразование 260

8.7‑1. Ряды как функциональные преобразования. Конечные преобразования Фурье и Ганкеля (260). 8.7‑2. Производящие функции (260). 8.7‑3. z‑преобразование. Определение и формула обращения (263).

ГЛАВА 9
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

9.1. Введение.................................. 265

9.1‑1. Вводные замечания (265). 9.1‑2. Обыкновенные дифференциальные уравнения (265). 9.1‑3. Системы дифференциальных уравнений (266). 9.1‑4. Существование решений (266). 9.1‑5. Общие указания (266).

9.2. Уравнения первого порядка .................... 268

9.2‑1. Существование и единственность решений (266). 9.2‑2. Геометрическое толкование. Особые интегралы (267). 9.2‑3. Преобразование переменных (268). 9.2‑4. Решение специальных типов уравнений первого порядка (268). 9.2‑5. Общие методы интегрирования (270).

9.3 Линейные дифференциальные уравнения.......... 271

9.3‑1. Линейные дифференциальные уравнения. Принцип наложения (271). 9.3‑2. Линейная независимость и фундаментальные системы решений (271). 9.3‑3. Решение методом вариации постоянных. Функции Грина (272). 9.3‑4. Приведение двухточечных краевых задач к задачам Коши (275). 9.3‑5. Линейные дифференциальные уравнения в комплексной области. Тейлоровские разложения решения и влияние особенностей (275). 9.3‑6. Решение однородных уравнений путем разложения в ряд в окрестности правильной особой точки (276). 9.3‑7. Методы интегральных преобразований (277). 9.3‑8. Линейные уравнения второго порядка (278). 9.3‑9. Гипергеометрическое дифференциальное уравнение Гаусса и P-уравнение Римана (279). 9.3‑10. Вырожденные гипергеометрические функции (282). 9.3‑11. Обобщенные гипергеометрические ряды (283).

9.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 283

9.4‑1. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами (283). 9.4‑2. Неоднородные уравнения (285). 9.4‑3. Свертки и функции Грина (286). 9.4‑4. Устойчивость (287). 9.4‑5. Операторный метод решения (288). 9.4‑6. Периодические внешние нагрузки и решения (289). 9.4‑7. Передаточные функции и частотные характеристики (290). 9.4‑8. Нормальные координаты и собственные колебания (291).

9.5. Нелинейные уравнения второго порядка.......... 292

9.5‑1. Вводные замечания (292). 9.5‑2. Представление на фазовой плоскости. Графический метод решения (292). 9.5‑3. Особые точки и предельные циклы (293). 9.5‑4. Устойчивость решений по Ляпунову (294). 9.5‑5. Приближенный метод Крылова и Боголюбова (296). 9.5‑6. Интеграл живых сил (297).

9.6. Дифференциальные уравнения Пфаффа............ 298

9.6‑1. Дифференциальные уравнения Пфаффа (298). 9.6‑2. Вполне интегрируемый случай (298).

ГЛАВА 10
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

10.1. Введение и обзор........................... 299

10.1‑1. Вводные замечания (299). 10.1‑2. Дифференциальные уравнения с частными производными (299). 10.1‑3. Решение дифференциальных уравнений с частными производными; разделение переменных (300).

10.2. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка 301

10.2‑1. Уравнения с двумя независимыми переменными. Геометрическая интерпретация (301). 10.2‑2. Задача с начальными условиями (задача Коши) (302). 10.2‑3. Полные интегралы. Общие, частные, особые интегралы; решения характеристических уравнений (303). 10.2‑4. Уравнения с n независимыми переменными (304). 10.2‑5. Преобразования соприкосновения (306). 10.2‑6. Канонические уравнения и канонические преобразования (307). 10.2‑7. Уравнение Гамильтона — Якоби. Решение канонических уравнений (310).

10.3. Гиперболические, параболические и эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными. Характеристики................. 312

10.3‑1. Квазилинейные уравнения с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными. Характеристики (312). 10.3‑2. Решение гиперболических уравнений методом характеристик (313). 10.3‑3. Преобразование гиперболических, параболических и эллиптических уравнений к каноническому виду (314). 10.3‑4. Типичные краевые задачи для уравнений второго порядка (315). 10.3‑5. Одномерное волновое уравнение (316). 10.3‑6. Метод Римана — Вольтерра для линейных гиперболических уравнений (317). 10.3‑7. Уравнения с тремя и более независимыми переменными (318).

10.4. Линейные уравнения математической физики. Частные решения 319

10.4‑1. Физические основы и обзор (319). 10.4‑2. Линейные краевые задачи (321). 10.4‑3. Частные решения уравнения Лапласа: трехмерный случай (322). 10.4‑4. Частные решения для трехмерного уравнения Гельмгольца (324). 10.4‑5. Частные решения двумерных задач (325). 10.4‑6. Уравнение Шредингера (326). 10.4‑7. Частные решения для уравнения теплопроводности и диффузии (326). 10.4‑8. Частные решения для волнового уравнения. Синусоидальные волны (326). 10.4‑9. Решение краевой задачи разложением в ортогональные ряды. Примеры (328).

10.5. Метод интегральных преобразований............ 329

10.5‑1. Общая теория (329). 10.5‑2. Преобразование Лапласа по временной переменной (330). 10.5‑3. Решение краевых задач методом интегральных преобразований. Примеры (331). 10.5‑4. Формулы Дюамеля (332).

ГЛАВА 11
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ

11.1. Вводные замечания......................... 333

11.2. Экстремумы функций одного действительного переменного 333

11.2‑1. Локальные максимумы и минимумы (333). 11.2‑2. Условия существования внутренних максимумов и минимумов (333).

11.3. Экстремумы функций двух и большего числа действительных переменных 334

11.3‑1. Локальные максимумы и минимумы (334). 11.3‑2. Формула Тейлора для приращения функции (334). 11.3‑3. Условия существования внутренних максимумов и минимумов (334). 11.3‑4. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа (335). 11.3‑5. Численные методы (336).

11.4. Линейное программирование, игры и смежные вопросы 336

11.4‑1. Задача линейного программирования (336). 11.4‑2. Симплекс-метод (339). 11.4‑3. Нелинейное программирование. Теорема Куна — Такера (342). 11.4‑4. Введение в конечные игры двух партнеров с нулевой суммой (342).

11.5. Вариационное исчисление. Максимумы и минимумы определенных интегралов 344

11.5‑1. Вариации (344). 11.5‑2. Максимумы и минимумы определенных интегралов (345). 11.5‑3. Решение вариационных задач (346).

11.6. Экстремали как решения дифференциальных уравнений: классическая теория 346

11.6‑1. Необходимые условия максимумов и минимумов (346). 11.6‑2. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа (348). 11.6‑3. Изопериметрические задачи (349). 11.6‑4. Решение вариационных задач в случае, когда подынтегральная функция содержит производные высших порядков (350). 11.6‑5. Вариационные задачи с неизвестными граничными значениями и неизвестными пределами интегрирования (350). 11.6‑6. Задачи Больца и Майера (351). 11.6‑7. Ломаные экстремали. Отражение, преломление и односторонние экстремумы (352). 11.6‑8. Канонические уравнения и уравнение Гамильтона — Якоби (353). 11.6‑9. Вариационные задачи в случае нескольких независимых переменных: максимумы и минимумы кратных интегралов (354). 11.6‑10. Достаточные условия для максимума и минимума в простейшей задаче (355).

11.7. Решение вариационных задач прямыми методами.. 356

11.7‑1. Прямые методы (356). 11.7‑2. Метод Релея — Ритца (357). 11.7‑3. Приближение y (x) полигональными функциями (357).

11.8. Задачи управления и принцип максимума........ 357

11.8‑1. Постановка задачи (357). 11.8‑2. Принцип максимума Понтрягина (360). 11.8‑3. Примеры (362). 11.8‑4. Матричные обозначения в задачах управления (364). 11.8‑5. Ограничения-неравенства для переменных состояния. Угловые условия (365). 11.8‑6. Метод динамического программирования (366).

11.9. Шаговые задачи управления и динамическое программирование 366

11.9‑1. Постановка задачи (366). 11.9‑2. Принцип оптимальности Беллмана (367).

ГЛАВА 12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ: СОВРЕМЕННАЯ
(АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА И АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12.1. Введение................................. 368

12.1‑1. Математические модели (368). 12.1‑2. Обзор (369). 12.1‑3. «Равенство» и отношения эквивалентности (369). 12.1‑4. Преобразования, функции, операции (369). 12.1‑5. Инвариантность (370). 12.1‑6. Представление одной модели другой: гомоморфизмы и изоморфизмы (370).

12.2. Алгебра моделей с одной определяющей операцией: группы 371

12.2‑1. Определение и основные свойства группы (371). 12.2‑2. Подгруппы (371). 12.2‑3. Циклические группы. Порядок элемента группы (372). 12.2‑4. Произведения подмножеств. Смежные классы (372). 12.2‑5. Сопряженные элементы и подгруппы. Нормальные делители. Фактор-группы (372). 12.2‑6. Нормальный ряд. Композиционный ряд (372). 12.2‑7. Центр. Нормализаторы (373). 12.2‑8. Группы преобразований или операторов (373). 12.2‑9. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Представление групп (373). 12.2‑10. Аддитивные группы. Классы вычетов и сравнимость (374).

12.3. Алгебра моделей с двумя определяющими операциями; кольца, поля и области целостности 374

12.3‑1. Определения и основные теоремы (374). 12.3‑2. Подкольца и подполя. Идеалы (375). 12.3‑3. Расширения (375).

12.4. Модели, включающие в себя более одного класса математических объектов: линейные векторные пространства и линейные алгебры............... 375

12.4‑1. Линейные векторные пространства (375). 12.4‑2. Линейные алгебры (376).

12.5. Модели, допускающие определение предельных процессов: топологические пространства 377

12.5‑1. Топологические пространства (377). 12.5‑2. Метрические пространства (378). 12.5‑3. Топология, окрестности и сходимость в метрическом пространстве (378). 12.5‑4. Метрические пространства со специальными свойствами. Теория точечных множеств (379). 12.5‑5. Примеры: пространства числовых последовательностей и функций (380). 12.5‑6. Теорема Банаха о сжатых отображениях и последовательные приближения (382).

12.6. Порядок.................................. 382

12.6‑1. Частично упорядоченные множества (382). 12.6‑2. Линейно упорядоченные множества (382). 12.6‑3. Упорядоченные поля (383).

12.7. Комбинации моделей; прямое произведение, топологическое произведение и прямая сумма 383

12.7‑1 Декартово произведение (383). 12.7‑2. Прямое произведение групп (383). 12.7‑3. Прямое произведение действительных векторных пространств (383). 12.7‑4. Топологическое произведение (384). 12.7‑5. Прямая сумма (384).

12.8. Булевы алгебры............................ 384

12.8‑1. Булевы алгебры (384). 12.8‑2. Булевы функции. Приведение к каноническому виду (385). 12.8‑3. Отношение включения (386). 12.8‑4. Алгебра классов (386). 12.8‑5. Изоморфизм булевых алгебр. Диаграммы Венна (386). 12.8‑6. Алгебры событий и символическая логика (387). 12.8‑7. Представление булевых функций истинностными таблицами. Карты Карно (389). 12.8‑8. Полная аддитивность. Алгебры меры (389).

ГЛАВА 13
МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ

13.1. Вводные замечания......................... 390

13.2. Алгебра матриц и матричное исчисление......... 390

13.2‑1. Прямоугольные матрицы (390). 13.2‑2. Основные операции (392). 13.2‑3. Нулевая и единичная матрицы; обратные матрицы (393). 13.2‑4. Целочисленные степени квадратных матриц (393). 13.2‑5. Матрицы как строительные блоки математических моделей (393). 13.2‑6. Умножение на матрицы специального вида. Матрицы перестановки (394). 13.2‑7. Ранг, след и определитель матрицы (394). 13.2‑8. Разбиение матриц (394). 13.2‑9. Клеточные матрицы. Прямые суммы (395). 13.2‑10. Прямое (внешнее) произведение матриц (395). 13.2‑11. Сходимость и дифференцирование (395). 13.2‑12. Функции матриц (395).

13.3. Матрицы со специальными свойствами симметрии. 396

13.3‑1. Транспонированная и эрмитово сопряженная матрица (396). 13.3‑2. Матрицы со специальными свойствами симметрии (396). 13.3‑3. Правила комбинирования (396). 13.3‑4. Теоремы о разложении. Нормальные матрицы (397).

13.4. Эквивалентные матрицы, собственные значения, приведение к диагональному виду и смежные вопросы................................... 398

13.4‑1. Эквивалентные и подобные матрицы (398). 13.4‑2. Собственные значения и спектры квадратных матриц (398). 13.4‑3. Приведение квадратной матрицы к треугольному виду. Алгебраическая кратность собственного значения (399). 13.4‑4. Приведение матриц к диагональному виду (399). 13.4‑5. Собственные значения и характеристическое уравнение матрицы (400). 13.4‑6. Собственные значения клеточных матриц (прямых) сумм (401). 13.4‑7. Теорема Кэли — Гамильтона и смежные вопросы (401).

13.5. Квадратичные и эрмитовы формы.............. 401

13.5‑1. Билинейные формы (401). 13.5‑2. Квадратичные формы (401). 13.5‑3. Эрмитовы формы (402). 13.5‑4. Преобразование квадратичных и эрмитовых форм. Приведение к сумме квадратов (402). 13.5‑5. Одновременное приведение двух квадратичных или эрмитовых форм к сумме квадратов (404). 13.5‑6. Признаки положительной определенности, неотрицательности и т. д. (404).

13.6. Матричные обозначения для систем дифференциальных уравнений (динамических систем). Возмущения и теория устойчивости Ляпунова......... 405

13.6‑1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Матричные обозначения (405). 13.6‑2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (406). 13.6‑3. Линейные системы с переменными коэффициентами (407). 13.6‑4. Методы возмущений и уравнения в вариациях (408). 13.6‑5. Устойчивость решений: определения (409). 13.6‑6. Функции Ляпунова и устойчивость (410). 13.6‑7. Приложения и примеры (411).

ГЛАВА 14
ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ). ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАТРИЦАМИ

14.1. Введение. Системы отсчета и преобразования координат 414

14.1‑1. Вводные замечания (414). 14.1‑2. Числовое описание математических моделей: системы отсчета (414). 14.1‑3. Преобразования координат (414). 14.1‑4. Инвариантность (415). 14.1‑5. Системы мер (415).

14.2. Линейные векторные пространства............. 415

14.2‑1. Определяющие свойства (415). 14.2‑2. Линейные многообразия и подпространства в (416). 14.2‑3. Линейно независимые и линейно зависимые векторы (416). 14.2‑4. Размерность линейного многообразия или векторного пространства. Базисы и системы координат (системы отсчета) (416). 14.2‑5. Нормированные векторные пространства (417). 14.2‑6. Унитарные векторные пространства (417). 14.2‑7. Норма, метрика и сходимость в унитарных векторных пространствах. Гильбертовы пространства (418). 14.2‑8. Теорема о проекции (419).

14.3. Линейные преобразования (линейные операторы).. 419

14.3‑1. Линейные преобразования векторных пространств. Линейные операторы (419). 14.3‑2. Множество значений, ядро и ранг линейного преобразования (оператора) (419). 14.3‑3. Сложение и умножение на скаляры. Нулевое преобразование (420). 14.3‑4. Произведение двух линейных преобразований (операторов). Тождественное преобразование (420). 14.3‑5. Невырожденные линейные преобразования (операторы). Обратные преобразования (операторы) (420). 14.3‑6. Целые степени операторов (420).

14.4. Линейные операторы в нормированном или гильбертовом пространстве. Эрмитовы и унитарные операторы................................. 421

14.4‑1. Ограниченные линейные преобразования (421). 14.4‑2. Ограниченные линейные операторы в нормированном векторном пространстве (421). 14.4‑3. Сопряженный оператор (421). 14.4‑4. Эрмитовы операторы (422). 14.4‑5. Унитарные операторы (422). 14.4‑6. Симметрические, кососимметрические и ортогональные операторы в действительных унитарных векторных пространствах (422). 14.4‑7. Правила комбинирования (423). 14.4‑8. Теоремы о разложении. Нормальные операторы (423). 14.4‑9. Сопряженные векторные пространства. Более общее определение сопряженных операторов (424). 14.4‑10. Бесконечно малые линейные преобразования (424).

14.5. Матричное представление векторов и линейных преобразований (операторов) 425

14.5‑1. Преобразование базисных векторов и координат векторов: «активная» точка зрения (425). 14.5‑2. Матричное представление векторов и линейных преобразований (операторов) (426). 14.5‑3. Матричные обозначения для систем линейных уравнений (426). 14.5‑4. Диадическое представление линейных операторов (427)

14.6. Замена системы координат.................... 427

14.6‑1. Преобразование базисных векторов и координат векторов: «пассивная» точка зрения (427). 14.6‑2. Представление линейного оператора в различных базисах (428). 14.6‑3. Последовательное применение операторов (428).

14.7. Представление скалярного произведения. Ортонормированные базисы 429

14.7‑1. Представление скалярного произведения (429). 14.7‑2. Замена системы координат (430). 14.7‑3. Ортогональные векторы и ортонормированные системы векторов (430). 14.7‑4. Ортонормированные базисы (полные ортонормированные системы) (430). 14.7‑5. Матрицы соответствующие сопряженным операторам (431). 14.7‑6. Взаимные базисы (432). 14.7‑7. Сравнение обозначений (433).

14.8. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов 433

14.8‑1. Вводные замечания (433). 14.8‑2. Инвариантные многообразия. Разложимые линейные преобразования (линейные операторы) и матрицы (433). 14.8‑3. Собственные векторы, собственные значения и спектр (434). 14.8‑4. Собственные векторы и собственные значения нормальных и эрмитовых операторов (435). 14.8‑5. Определение собственных значений и собственных векторов: конечномерный случай (436). 14.8‑6. Приведение и диагонализация матриц. Преобразование к главным осям (437). 14.8‑7. «Обобщенная» задача о собственных значениях (439). 14.8‑8. Задачи о собственных значениях как задачи о стационарных значениях (439). 14.8‑9. Границы для собственных значений линейных операторов (441). 14.8‑10. Неоднородные линейные векторные уравнения (442).

14.9. Представления групп и смежные вопросы........ 443

14.9‑1. Представления групп (443). 14.9‑2. Приведение представлений (443). 14.9‑3. Неприводимые представления группы (444). 14.9‑4. Характер представления (445). 14.9‑5. Соотношения ортогональности (445). 14.9‑6. Прямые произведения представлений (446). 14.9‑7. Представления колец, полей и линейных алгебр (446).

14.10. Математическое описание вращений........... 446

14.10‑1. Вращения в трехмерном евклидовом векторном пространстве (446). 14.10‑2. Угол поворота. Ось вращения (447). 14.10‑3. Параметры Эйлера и ректор Гиббса (448). 14.10‑4. Представление векторов и вращений спиновыми матрицам и кватернионами. Параметры Кэли — Клейна (448). 14.10‑5. Вращения вокруг осей координат (449). 14.10‑6. Углы Эйлера (450). 14.10‑7. Бесконечно малые вращения, непрерывное вращение и угловая скорость (452). 14.10‑8. Группа трехмерных вращений и ее представления (454).

ГЛАВА 15
ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ

15.1. Введение. Функциональный анализ............. 456

15.1‑1. Вводные замечания (456). 15.1‑2. Обозначения (456).

15.2. Функции как векторы. Разложения по ортогональным функциям 457

15.2‑1. Квадратично интегрируемые функции как векторы. Скалярное произведение и нормирование (457). 15.2‑2. Метрика и сходимость в L₂. Сходимость в среднем (458). 15.2‑3. Ортогональные функции и ортонормированные последовательности функций (459). 15.2‑4. Полные ортонормированные последовательности функций. Ортонормированные базисы (459). 15.2‑5. Ортогонализация и нормирование последовательности функций (460). 15.2‑6. Аппроксимации и разложения в ряды по ортогональным функциям (460). 15.2‑7. Линейные операции над функциями (460).

15.3. Линейные интегральные преобразования и линейные интегральные уравнения 461

15.3‑1. Линейные интегральные преобразования (461). 15.3‑2. Линейные интегральные уравнения. Обзор (462). 15.3‑3. Однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Собственные функции и собственные значения (463). 15.3‑4. Теоремы разложения (463). 15.3‑5. Итерированные ядра (464). 15.3‑6. Эрмитовы интегральные формы. Задача о собственных значениях как вариационная задача (465). 15.3‑7. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода (465). 15.3‑8. Решение линейного интегрального уравнения (16) (467). 15.3‑9. Решение линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода (468). 15.3‑10. Интегральные уравнения Вольтерра (469).

15.4. Линейные краевые задачи и задачи о собственных значениях для дифференциальных уравнений......................................... 470

15.4‑1. Линейные краевые задачи. Постановка задачи и обозначения (470). 15.4‑2. Дополнительное дифференциальное уравнение и краевые условия для линейной краевой задачи. Теоремы о суперпозиции (470). 15.4‑3. Эрмитово сопряженные и сопряженные краевые задачи. Эрмитовы операторы (471). 15.4‑4. Теорема Фредгольма об альтернативе (473). 15.4‑5. Задачи о собственных значениях для линейных дифференциальных уравнений (473). 15.4‑6. Собственные значения и собственные функции эрмитовой задачи о собственных значениях. Полные ортонормированные множества собственных функций (474). 15.4‑7. Эрмитова задача о собственных значениях как вариационная задача (475). 15.4‑8. Одномерная задача Штурма — Лиувилля о собственных значениях (476). 15.4‑9. Задача Штурма — Лиувилля для уравнений с частными производными второго порядка (477). 15.4‑10. Теоремы сравнения (477). 15.4‑11. Решение дискретных задач о собственных значениях методами возмущений (478). 15.4‑12. Решение краевых задач посредством разложений в ряды по собственным функциям (479).

15.5. Функции Грина. Связь краевых задач и задач о собственных значениях с интегральными уравнениями..................................... 480

15.5‑1. Функции Грина для краевой задачи с однородными краевыми условиями (480). 15.5‑2. Связь краевых задач и задач о собственных значениях с интегральными уравнениями. Резольвента Грина (481). 15.5‑3. Приложение метода функций Грина к задаче с начальными условиями: обобщенное уравнение диффузии (482). 15.5‑4. Метод функций Грина для неоднородных краевых условий (483).

15.6. Теория потенциала.......................... 484

15.6‑1. Введение. Дифференциальные уравнения Лапласа и Пуассона (484). 15.6‑2. Трехмерная теория потенциала. Классические краевые условия задачи (484). 15.6‑3. Теорема Кельвина об инверсии (485). 15.6‑4. Свойства гармонических функций (485). 15.6‑5. Решения уравнений Лапласа и Пуассона как потенциалы (486). 15.6‑6. Решение трехмерных краевых задач посредством функций Грина (488). 15.6‑7. Двумерная теория потенциала. Логарифмический потенциал (490). 15.6‑8. Двумерная теория потенциала; сопряженные гармонические функции (490). 15.6‑9. Решение двумерных краевых задач. Функции Грина и конформные отображения (492). 15.6‑10. Распространение теории на более общие дифференциальные уравнения. Запаздывающие и опережающие потенциалы (493).

ГЛАВА 16
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ТЕНЗОРНАЯ
АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

16.1. Введение................................. 494

16.1‑1. Вводные замечания (494). 16.1‑2. Системы координат и допустимые преобразования (494). 16.1‑3. Компоненты объектов. Индексные обозначения (494). 16.1‑4. Системы отсчета и индуцированные преобразования. Геометрические объекты (495).

16.2. Абсолютные (истинные) тензоры и относительные тензоры (псевдотензоры) 496

16.2‑1. Определение абсолютных и относительных тензоров, основанное на законе преобразования их компонент (496). 16.2‑2. Инфинитезимальное перемещение. Градиент скалярного поля (498).

16.3. Тензорная алгебра: определение основных операций 499

16.3‑1. Равенство тензоров (499). 16.3‑2. Нуль-тензор (499). 16.3‑3. Сложение тензоров (499). 16.3‑4. Умножение тензора на абсолютный скаляр (499). 16.3‑5. Свертывание смешанного тензора (499). 16.3‑6. Произведение (внешнее) двух тензоров (500). 16.3‑7. Внутреннее произведение (500). 16.3‑8. Признак тензора (500).

16.4. Тензорная алгебра. Инвариантность тензорных уравнений 501

16.4‑1. Инвариантность тензорных уравнений (501).

16.5. Симметричные и антисимметричные тензоры..... 502

16.5‑1. Симметричные и антисимметричные объекты (502). 16.5‑2. Символы Кронекера (502). 16.5‑3. e-объекты (символы Леви-Чивита) (503). 16.5‑4. Альтернированное произведение двух векторов (503).

16.6. Локальная система базисных векторов (локальный базис) 504

16.6‑1. Выражение векторов и тензоров через векторы локального базиса (504). 16.6‑2. Преобразование локального базиса при преобразовании координат (504).

16.7. Тензоры в римановых пространствах. Ассоциированные тензоры 505

16.7‑1. Риманово пространство и фундаментальные тензоры (505). 16.7‑2. Ассоциированные тензоры. Поднятие и опускание индексов (506). 16.7‑3. Эквивалентность ассоциированных тензоров (506). 16.7‑4. Операции над тензорами в римановых пространствах (507).

16.8. Скалярное произведение векторов и связанные с ним понятия 507

16.8‑1. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов в римановом пространстве (507). 16.8‑2. Скалярные произведения локальных базисных векторов. Ортогональная система координат (507). 16.8‑3. Физические компоненты тензора (508). 16.8‑4. Векторное произведение и смешанное произведение (508).

16.9. Тензоры ранга 2 в римановом пространстве....... 509

16.9‑1. Диадные произведения (509). 16.9‑2. Умножение тензоров ранга 2 и векторов и связанная с ним система обозначений (510). 16.9‑3. Собственные векторы и собственные значения (510).

16.10. Абсолютное дифференциальное исчисление. Ковариантное дифференцирование 510

16.10‑1. Абсолютные дифференциалы (510). 16.10‑2. Абсолютный дифференциал относительного тензора (512). 16.10‑3. Символы Кристоффеля (512). 16.10‑4. Ковариантное дифференцирование (513). 16.10‑5. Правила ковариантного дифференцирования (514). 16.10‑6. Ковариантные производные высших порядков (514). 16.10‑7. Дифференциальные операторы и дифференциальные инварианты (515). 16.10‑8. Абсолютные (внутренние) производные и производные по направлению (515). 16.10‑9. Тензоры, постоянные вдоль кривой. Уравнения параллелизма (517). 16.10‑10. Интегрирование тензорных величин. Элемент объема (517). 16.10‑11. Дифференциальные инварианты тензоров ранга 2; интегральные теоремы (517).

ГЛАВА 17
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

17.1. Кривые на евклидовой плоскости............... 518

17.1‑1. Касательная к плоской кривой (518). 17.1‑2. Нормаль к плоской кривой (518). 17.1‑3. Особые точки (519). 17.1‑4. Кривизна плоской кривой (519). 17.1‑5. Порядок касания плоских кривых (520). 17.1‑6. Асимптоты (520). 17.1‑7. Огибающая семейства плоских кривых (520). 17.1‑8. Изогональные траектории (520).

17.2. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве... 521

17.2‑1. Вводные замечания (521). 17.2‑2. Подвижной трехгранник (521). 17.2‑3. Формулы Фроне — Серре. Кривизна и кручение пространственной кривой (522). 17.2‑4. Уравнения касательной, нормали и бинормали; уравнения соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей (523). 17.2‑5. Дополнительные замечания (523). 17.2‑6. Порядок касания (524).

17.3. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве 524

17.3‑1. Вводные замечания (524). 17.3‑2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (524). 17.3‑3. Первая основная квадратичная форма поверхности. Дифференциал длины дуги и элемент площади (525). 17.3‑4. Геодезическая и нормальная кривизна кривой на поверхности. Теорема Менье (526). 17.3‑5. Вторая основная квадратичная форма. Главные кривизны, гауссова кривизна и средняя кривизна (527). 17.3‑6. Некоторые направления и кривые на поверхности. Минимальные поверхности (528). 17.3‑7. Поверхности как римановы пространства. Трехиндексные символы Кристоффеля и параметры Бельтрами (529). 17.3‑8. Уравнения с частными производными, связывающие коэффициенты основных квадратичных форм. Theorema Egregium Гаусса (530). 17.3‑9. Определение поверхности коэффициентами ее основных квадратичных форм (530). 17.3‑10. Отображения (530). 17.3‑11. Огибающие (531). 17.3‑12. Геодезические линии поверхности (531). 17.3‑13. Геодезические нормальные координаты. Геометрия на поверхности (532). 17.3‑14. Теорема Гаусса — Бонне (533).

17.4. Пространства с кривизной.................... 533

17.4‑1. Вводные замечания (533). 17.4‑2. Кривые, длины и направления в римановом пространстве (533). 17.4‑3. Геодезические линии в римановом пространстве (534). 17.4‑4. Римановы пространства с неопределенной метрикой. Изотропные направления и геодезические нулевой длины (535). 17.4‑5. Тензор кривизны риманова пространства (535). 17.4‑6. Геометрическое истолкование тензора кривизны. Плоские пространства и евклидовы пространства (536). 17.4‑7.Специальные координатные системы (537).

ГЛАВА 18
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

18.1. Введение................................. 539

18.1‑1. Вводные замечания (539).

18.2. Определение и представление вероятностных моделей 539

18.2‑1. Алгебра событий, связанных с данным испытанием (539). 18.2‑2. Определение вероятности. Условные вероятности (540). 18.2‑3. Независимость случайных событий (540). 18.2‑4. Сложные испытания. Независимые испытания и повторные независимые испытания (540). 18.2‑5. Правила сочетаний (541). 18.2‑6. Теоремы Байеса (542). 18.2‑7. Представление событий как множеств в пространстве выборок (542). 18.2‑8. Случайные величины (542). 18.2‑9. Описание вероятностных моделей на языке случайных величин и их функций распределения (542).

18.3. Одномерные распределения вероятностей........ 543

18.3‑1. Дискретные одномерные распределения вероятностей (543). 18.3‑2. Непрерывные одномерные распределения вероятностей (543). 18.3‑3. Математическое ожидание и дисперсия. Числовые характеристики одномерного распределения вероятностей (544). 18.3‑4. Нормирование (546). 18.3‑5. Неравенство Чебышева и связанные с ним формулы (546). 18.3‑6. Единое описание распределений вероятностей с помощью интеграла Стилтьеса (546). 18.3‑7. Моменты одномерного распределения вероятностей (547). 18.3‑8. Характеристические и производящие функции (548). 18.3‑9. Семиинварианты (549). 18.3‑10. Вычисление моментов и семиинвариантов через χ_x (q), M_x (s) и γ_x (s). Соотношения между моментами и семиинвариантами (549).

18.4. Многомерные распределения вероятностей....... 550

18.4‑1. Многомерные случайные величины (550). 18.4‑2. Двумерные распределения вероятностей. Распределения координат случайной величины (550). 18.4‑3. Дискретные и непрерывные двумерные распределения вероятностей (550). 18.4‑4. Математическое ожидание, моменты, ковариация и коэффициент корреляции (551). 18.4‑5. Условные распределения вероятностей, связанные с двумя случайными величинами (552). 18.4‑6. Регрессии (553). 18.4‑7. n-мерные распределения вероятностей (553). 18.4‑8. Математические ожидания и моменты (555). 18.4‑9. Регрессия. Коэффициенты корреляции (556). 18.4‑10. Характеристические функции (557). 18.4‑11. Независимость случайных величин (557). 18.4‑12. Энтропия распределения вероятностей (558).

18.5. Функции от случайных величин. Замена переменных 559

18.5‑1. Вводные замечания (559). 18.5‑2. Функции (или преобразования) одномерной случайной величины (559). 18.5‑3. Линейные преобразования одномерной случайной величины (560). 18.5‑4. Функции (или преобразования) многомерных случайных величин (561). 18.5‑5. Линейные преобразования (562). 18.5‑6. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин (562). 18.5‑7. Суммы независимых случайных величин (563). 18.5‑8. Распределение суммы случайного количества случайных величин (564).

18.6. Сходимость по вероятности и предельные теоремы. 564

18.6‑1. Последовательность распределений вероятностей. Сходимость по вероятности (564). 18.6‑2. Пределы функций распределения, характеристических и производящих функций. Теоремы непрерывности (564). 18.6‑3. Сходимость в среднем (565). 18.6‑4. Асимптотически нормальные распределения вероятностей (565). 18.6‑5. Предельные теоремы (565).

18.7. Специальные методы решения вероятностных задач. 566

18.7‑1. Вводные замечания (566). 18.7‑2. Задачи с дискретным распределением вероятностей: подсчет событий и комбинаторный анализ (567). 18.7‑3. Применение производящих функций. Теорема Пойа (569). 18.7‑4. Задачи с дискретным распределением вероятностей: успехи и неудачи в составляющих испытаниях (571).

18.8. Специальные распределения вероятностей........ 571

18.8‑1. Дискретные одномерные распределения вероятностей (571). 18.8‑2. Дискретные многомерные распределения вероятностей (573). 18.8‑3. Непрерывные распределения вероятностей: нормальное распределение (Гаусса) (575). 18.8‑4. Нормальные случайные величины: распределение отклонений от центра (576). 18.8‑5. Различные непрерывные одномерные распределения вероятностей (582). 18.8‑6. Двумерные нормальные распределения (582). 18.8‑7. Круговое нормальное распределение (583). 18.8‑8. η-мерные нормальные распределения (583). 18.8‑9. Теоремы сложения для специальных распределений (583).

18.9. Теория случайных процессов.................. 584

18.9‑1. Случайные процессы (584). 18.9‑2. Описание случайных процессов (584). 18.9‑3. Средние по множеству наблюдений. Корреляционные функции (585). 18.9‑4. Интегрирование и дифференцирование случайных функций (586). 18.9‑5. Процессы, определяемые случайными параметрами (588). 18.9‑6. Разложение по ортонормированной системе (588).

18.10. Стационарные случайные процессы. Корреляционные функции и спектральные плотности ......................................... 589

18.10‑1. Стационарные случайные процессы (589). 18.10‑2. Корреляционные функции по множеству наблюдений (589). 18.10‑3. Спектральная плотность по множеству наблюдений (590). 18.10‑4. Корреляционные функции и спектры действительных процессов (590). 18.10‑5. Спектральное разложение средней «мощности» действительных процессов (590). 18.10‑6. Другие виды спектральной плотности по множеству наблюдений (591). 18.10‑7. Средние по времени и эргодические процессы (591). 18.10‑8. Корреляционные функции и спектральные плотности по времени (592). 18.10‑9. Функции с периодическими компонентами (593). 18.10‑10. Обобщенные преобразования Фурье и спектральные функции (595).

18.11. Типы случайных процессов. Примеры.......... 596

18.11‑1. Процессы с постоянными и периодическими реализациями (596). 18.11‑2. Процессы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова (598). 18.11‑3. Гауссовские случайные процессы (599). 18.11‑4. Марковские процессы и процесс Пуассона (599). 18.11‑5. Некоторые случайные процессы, порождаемые процессом Пуассона (601). 18.11‑6. Случайные процессы, порождаемые периодической выборкой (602).

18.12. Действия над случайными процессами ......... 603

18.12‑1. Корреляционные функции и спектры сумм (603). 18.12‑2. Соотношения между входным и выходным сигналами для линейных систем (604). 18.12‑3. Стационарный случай (604). 18.12‑4. Соотношения для корреляционных функций и спектров по времени (605). 18.12‑5. Нелинейные операции (605). 18.12‑6. Нелинейные операции над гауссовскими процессами (606).

ГЛАВА 19
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

19.1. Введение в статистические методы.............. 607

19.1‑1. Статистики (607). 19.1‑2. Классическая вероятностная модель: статистики случайной выборки. Понятие о генеральной совокупности (607). 19.1‑3. Связь вероятностной модели с опытом: оценка и проверка (608).

19.2. Статистическое описание. Определение и вычисление статистик случайной выборки 609

19.2‑1. Относительные частоты (609). 19.2‑2. Распределение выборки. Группированные данные (609). 19.2‑3. Выборочные средние (610). 19.2‑4. Выборочные дисперсии и моменты (611). 19.2‑5. Упрощенное вычисление выборочных средних и дисперсий. Поправка на группировку (612). 19.2‑6. Размах выборки (613).

19.3. Типовые распределения вероятностей........... 613

19.3‑1. Вводные замечания (613). 19.3‑2. Класс распределений Кэптейна (613). 19.3‑3. Ряды Грама — Шарлье и Эджворта (614). 19.3‑4. Усеченные нормальные распределения и распределение Парето (614). 19.3‑5. Типы распределений Пирсона (615).

19.4. Оценки параметров......................... 615

19.4‑1. Свойства оценок (615). 19.4‑2. Некоторые свойства статистик, применяемых в качестве оценок (616). 19.4‑3. Нахождение оценок. Метод моментов (617). 19.4‑4. Метод наибольшего правдоподобия (617). 19.4‑5. Другие методы нахождения оценок (618).

19.5. Выборочные распределения................... 618

19.5‑1. Вводные замечания (618). 19.5‑2. Асимптотически нормальные выборочные распределения (618). 19.5‑3. Выборки из нормальной совокупности. Распределения χ², t и ν² (619). 19.5‑4. Распределение размаха выборки (619). 19.5‑5. Выборочный метод для конечной совокупности (620).

19.6. Проверка статистических гипотез............... 630

19.6‑1. Статистические гипотезы (630). 19.6‑2. Критерии с фиксированной выборкой; определения (630). 19.6‑3. Уровень значимости. Правило Неймана — Пирсона отбора критериев для простых гипотез (630). 19.6‑4. Критерии значимости (632). 19.6‑5. Доверительная область (632). 19.6‑6. Критерии сравнения нормальных совокупностей. Дисперсионный анализ (634). 19.6‑7. Критерий согласия χ² (637). 19.6‑8. Непараметрическое сравнение двух совокупностей: критерий знаков (638). 19.6‑9. Обобщения (638).

19.7. Некоторые статистики, выборочные распределения и критерии для многомерных распределений......................................... 638

19.7‑1. Вводные замечания (638). 19.7‑2. Статистики, получаемые на основе многомерных выборок (638). 19.7‑3. Оценки параметров (639). 19.7‑4. Выборочные распределения в случае нормальной совокупности (640). 19.7‑5. Выборочная средняя квадратическая сопряженность признаков. Критерий независимости двух случайных величин, основанный на таблице сопряженности признаков (642). 19.7‑6. Порядковая корреляция по Спирмену. Непараметрический критерий независимости (642).

19.8. Статистики и измерения случайного процесса..... 643

19.8‑1. Средние по конечному промежутку времени (643). 19.8‑2. Усредняющие фильтры (644). 19.8‑3. Примеры (645). 19.8‑4. Выборочные средние (646).

19.9. Проверка и оценка в задачах со случайными параметрами 647

19.9‑1. Постановка задачи (647). 19.9‑2. Оценка и проверка с помощью формул Байеса (648). 19.9‑3. Случай двух состояний, проверка гипотез (648). 19.9‑4. Оценки по методу наименьших квадратов (650).

ГЛАВА 20
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ

20.1. Введение................................. 652

20.1‑1. Вводные замечания (652). 20.1‑2. Ошибки (652).

20.2. Численное решение уравнений................. 652

20.2‑1. Вводные замечания (652). 20.2‑2. Итерационные методы (653). 20.2‑3. Вычисление значений многочлена (655). 20.2‑4. Численное решение алгебраических уравнений. Итерационные методы (655). 20.2‑5. Специальные методы решения алгебраических уравнений (656). 20.2‑6. Системы уравнений и экстремальные задачи (659). 20.2‑7. Градиентные методы (660). 20.2‑8. Метод Ньютона и теорема Канторовича (661).

20.3. Системы линейных уравнений и обращение матриц. Собственные значения и собственные векторы матриц................................. 662

20.3‑1. Методы исключения (662). 20.3‑2. Итерационные методы (663). 20.3‑3. Обращение матриц (665). 20.3‑4. Решение системы линейных уравнений и обращение матриц при помощи разбиения на клетки (666). 20.3‑5. Собственные значения и собственные векторы матриц (667).

20.4. Конечные разности и разностные уравнения...... 663

20.4‑1. Конечные разности и центральные средние (668). 20.4‑2. Операторные обозначения (669). 20.4‑3. Разностные уравнения (670). 20.4‑4. Линейные обыкновенные разностные уравнения (671). 20.4‑5. Линейные обыкновенные разностные уравнения с постоянными коэффициентами (672). 20.4‑6. Методы преобразований для линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами (672). 20.4‑7. Системы обыкновенных разностных уравнений. Матричная запись (674). 20.4‑8. Устойчивость (675).

20.5. Интерполяция функций...................... 675

20.5‑1. Вводные замечания (675). 20.5‑2. Общие формулы параболической интерполяции (значения аргумента могут быть и неравноотстоящими) (675). 20.5‑3. Интерполяционные формулы для равноотстоящих значений аргумента. Ромбовидные диаграммы (677). 20.5‑4. Обратная интерполяция (677). 20.5‑5. Интерполяция с оптимальным выбором узлов (682). 20.5‑6. Интерполяция функций нескольких переменных (682). 20.5‑7. Обратные разности и интерполяция рациональными дробями (683).

20.6. Аппроксимация функций ортогональными многочленами, отрезками ряда Фурье и другими методами...................................... 683

20.6‑1. Вводные замечания (683). 20.6‑2. Приближения функций многочленами по методу наименьших квадратов на интервале (683). 20.6‑3. Приближения функций многочленами по методу наименьших квадратов на дискретном множестве точек (684). 20.6‑4. Равномерные приближения (686). 20.6‑5. Экономизация степенных рядов (686). 20.6‑6. Численный гармонический анализ и тригонометрическая интерполяция (687). 20.6‑7. Разные приближения (693).

20.7. Численное дифференцирование и интегрирование.. 695

20.7‑1. Численное дифференцирование (695). 20.7‑2. Численное интегрирование для равноотстоящих узлов (696). 20.7‑3. Квадратурные формулы Гаусса и Чебышева (698). 20.7‑4. Построение и сравнение квадратурных формул (700). 20.7‑5. Вычисление кратных интегралов (700).

20.8. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 701

20.8‑1. Вводные замечания (701). 20.8‑2. Одношаговые методы решения задачи Коши. Методы Эйлера и Рунге — Кутта (701). 20.8‑3. Многошаговые методы решения задачи Коши (703). 20.8‑4. Улучшенные многошаговые методы (704). 20.8‑5. Сравнение различных методов решения. Контроль величины шага и устойчивость (704). 20.8‑6. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений (706). 20.8‑7. Специальные формулы для уравнений второго порядка (707). 20.8‑8. Анализ частотных характеристик (708).

20.9. Численное интегрирование уравнений с частными производными, краевые задачи; интегральные уравнения.................................. 709

20.9‑1. Вводные замечания (709). 20.9‑2. Двухточечная краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений (709). 20.9‑3. Обобщенный метод Ньютона (квазилинеаризация) (710). 20.9‑4. Разностные методы численного решения уравнений с частными производными для случая двух независимых переменных (710). 20.9‑5. Двумерные разностные операторы (711). 20.9‑6. Представление краевых условий (711). 20.9‑7. Задачи, содержащие более двух независимых переменных (714). 20.9‑8. Пригодность разностных схем. Условия устойчивости (714). 20.9‑9. Методы аппроксимирующих функций для численного решения краевых задач (715). 20.9‑10. Численное решение интегральных уравнений (716).

20.10. Методы Монте-Карло....................... 717

20.10‑1. Методы Монте-Карло (717). 20.10‑2. Два метода уменьшения дисперсии оценки (718). 20.10‑3. Использование предварительной информации. Метод значимой выборки (719). 20.10‑4. Некоторые методы генерирования случайных чисел. Проверка случайности (719).

ГЛАВА 21
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

21.1. Введение................................. 720

21.1‑1. Вводные замечания (720).

21.2. Элементарные трансцендентные функции........ 720

21.2‑1. Тригонометрические функции (720). 21.2‑2. Соотношения между тригонометрическими функциями (722). 21.2‑3. Теоремы сложения и формулы для кратных углов (723). 21.2‑4. Обратные тригонометрические функции (724). 21.2‑5. Гиперболические функции (725). 21.2‑6. Соотношения между гиперболическими функциями (726). 21.2‑7. Формулы сложения для гиперболических функций (726). 21.2‑8. Обратные гиперболические функции (727). 21.2‑9. Соотношения между показательной, тригонометрическими и гиперболическими функциями (728). 21.2‑10. Определение логарифма (728). 21.2‑11. Соотношения между обратными тригонометрическими, обратными гиперболическими и логарифмической функциями (729). 21.2‑12. Разложения в степенные ряды (729). 21.2‑13. Разложения в бесконечные произведения (730). 21.2‑14. Некоторые полезные неравенства (730).

21.3. Некоторые интегральные функции.............. 730

21.3‑1. Интегральные синус, косинус, логарифм и показательная функция (730). 21.3‑2. Интегралы Френеля и интеграл вероятностей (738).

21.4. Гамма-функция и связанные с ней функции....... 739

21.4‑1. Гамма-функция (739). 21.4‑2. Асимптотическое разложение Стирлинга для Г (z) и п! (743). 21.4‑3. Логарифмическая производная гамма-функции (743). 21.4‑4. Бета-функция (743). 21.4‑5. Неполные гамма- и бета-функции (744).

21.5. Биномиальные коэффициенты и факториальные многочлены. Многочлены и числа Бернулли......................................... 744

21.5‑1. Биномиальные коэффициенты и факториальные многочлены (744). 21.5‑2. Многочлены и числа Бернулли (746). 21.5‑3. Формулы, связывающие многочлены Бернулли и факториальные многочлены (747). 21.5‑4. Приближенные формулы для (747).

21.6. Эллиптические функции, эллиптические интегралы и связанные о ними функции 748

21.6‑1. Эллиптические функции; общие свойства (748). 21.6‑2. -функция Вейерштрасса (748). 21.6‑3. ζ- и σ-функции Вейерштрасса (750). 21.6‑4. Эллиптические интегралы (751). 21.6‑5. Приведение эллиптических интегралов (751). 21.6‑6. Нормальные эллиптические интегралы Лежандра (753). 21.6‑7. Эллиптические функции Якоби (761). 21.6‑8. Тэта-функции Якоби (765). 21.6‑9. Соотношения между эллиптическими функциями Якоби, Вейерштрасса и тэта-функциями (767).

21.7. Ортогональные многочлены................... 767

21.7‑1. Введение (767). 21.7‑2. Действительные нули ортогональных многочленов (768). 21.7‑3. Функции Лежандра (768). 21.7‑4. Многочлены Чебышева первого и второго рода (768). 21.7‑5. Обобщенные многочлены и присоединенные функции Лагерра (774). 21.7‑6. Функции Эрмита (775). 21.7‑7. Некоторые интегральные формулы (776). 21.7‑8. Многочлены Якоби и Гегенбауэра (776).

21.8. Цилиндрические функции, присоединенные функции Лежандра и сферические гармоники 777

21.8‑1. Функции Бесселя и другие цилиндрические функции (777). 21.8‑2. Интегральные формулы (779). 21.8‑3. Нули цилиндрических функций (780). 21.8‑4. Функции Бесселя целого порядка (781). 21.8‑5. Решение дифференциальных уравнений при помощи функций Бесселя и связанных с ними функций (782). 21.8‑6. Модифицированные функции Бесселя и Ганкеля (782). 21.8‑7. Функции ber_mz, bei_mz, her_mz, hei_mz, ker_mz, kei_mz (783). 21.8‑8. Сферические функции Бесселя (784). 21.8‑9. Асимптотические разложения цилиндрических функций и сферических функций Бесселя для больших значений |z| (785). 21.8‑10. Присоединенные функции и многочлены Лежандра (785). 21.8‑11. Интегральные свойства присоединенных функций Лежандра (787). 21.8‑12. Сферические гармоники. Ортогональность (787). 21.8‑13. Теоремы сложения (789).

21.9. Ступенчатые функции и символические импульсные функции 790

21.9‑1. Ступенчатые функции (790). 21.9‑2. Символическая дельта-функция Дирака (792). 21.9‑3. Производные ступенчатых и импульсных функций (793). 21.9‑4. Аппроксимация импульсных функций (794). 21.9‑5. Представления интегралом Фурье (795). 21.9‑6. Асимметричные импульсные функции (795). 21.9‑7. Многомерные дельта-функции (795).

Литература.................................................................................. 796

Указатель важнейших обозначений......................................... 801

Предметный указатель............................................................... 804

ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ

Глава 1

1.10-1. Правильные многоугольники....................................... 47

1.10-2. Тела вращения............................................................... 48

1.10-3. Пять правильных многогранников.............................. 49

1.11-1. Решение плоских треугольников................................. 50

1.12-1. Решение сферических треугольников.......................... 64

Глава 2

2.4-1. Классификация кривых второго порядка...................... 65

2.4-2. Касательные, нормали, поляры и полюсы кривых второго порядка 68

2.5-1. Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения и основные формулы 72

Глава 3

3.5-1. Классификация поверхностей второго порядка .......... 90

3.5-2. Стандартные (канонические) уравнения и основные свойства невырожденных поверхностей второго порядка ........................................................................ 94

Глава 4

4.5-1. Производные часто встречающихся функций.............. 108

4.5-2. Правила дифференцирования ....................................... 111

4.6-1. Свойства интегралов...................................................... 114

4.7-1. Некоторые часто встречающиеся пределы................... 130

4.8-1. Суммы некоторых числовых рядов .............................. 135

4.10-1. Действия со степенными рядами ............................... 144

4.11-1. Коэффициенты Фурье и среднеквадратические значения периодических функций 151

4.11-2. Свойства преобразования Фурье................................. 154

4.11-3. Преобразования Фурье................................................. 155

4.11-4. Косинус-преобразования Фурье.................................. 158

4.11-5. Синус-преобразования Фурье...................................... 159

Глава 5

5.2-1. Свойства скалярного произведения.............................. 164

5.2-2. Свойства векторного произведения ............................. 165

5.3-1. Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента......167

5.5-1. Правила действий с оператором Ñ................................ 172

5.5-2. Операции над скалярными функциями........................ 174

5.5-3. Операции над векторными функциями........................ 174

5.6-1. Теоремы, связывающие объемные и поверхностные интегралы 175

Глава 6

6.3-1. Соотношения между базисными векторами и координатами векторов в различных локальных системах отсчета....................................................................... 181

6.4-1. Векторные соотношения в ортогональных координатах 184

6.5-1. Векторные формулы в сферических и цилиндрических координатах 186

6.5-2. Общие эллипсоидальные координаты λ, μ, ν............... 189

6.5-3. Координаты σ, τ, φ вытянутого эллипсоида вращения..... 190

6.5-4. Координаты σ, τ, φ сплюснутого эллипсоида вращения 191

6.5-5. Координаты σ, τ, z эллиптического цилиндра............. 191

6.5-6. Конические координаты и, v, w..................................... 192

6.5-7. Параболоидальные координаты λ, μ, ν......................... 192

6.5-8. Параболические координаты σ, χ, φ.............................. 193

6.5-9. Координаты σ, τ, z параболического цилиндра........... 193

6.5-10. Бицилиндрические координаты σ, τ, z........................ 194

6.5-11. Тороидальные координаты σ, τ, φ............................... 195

6.5-12. Биполярные координаты σ, τ, φ................................... 195

Глава 7

7.2-1. Действительная и мнимая части, нули и особенности для наиболее часто встречающихся функций f (z) = u (x, y) + iv (x, у) комплексного переменного
z = x + iy................................... 193

7.9-1. Свойства отображения ................................ 218

7.9-2. Примеры конформных отображений............................ 219

7.9-3. Конформные отображения некоторых областей D на единичный круг 226

Глава 8

8.3-1. Теоремы соответствия операций над оригиналами и изображениями 231

8.4-1. Таблица преобразований Лапласа.......................235

8.4-2. Таблица преобразований Лапласа для рациональных изображений F (s) = D₁ (s)/D (s) 242

8.6-1. Некоторые линейные интегральные преобразования, связанные с преобразованием Лапласа............................................................................................... 257

8.6-2. Преобразования Ганкеля................................................ 259

8.7-1. Некоторые конечные интегральные преобразования.. 261

8.7-2. Соответствие операций при z-преобразовании.......... 264

Глава 9

9.3-1. Функции Грина для линейных краевых задач.............. 274

9.3-2. Дополнительные формулы для гипергеометрических функций 281

9.3-3. Дополнительные формулы для вырожденных гипергеометрических функций 283

Глава 10

10.2-1. Полные интегралы для некоторых специальных типов уравнений с частными производными первого порядка .................................................................. 304

10.4-1. Важнейшие линейные дифференциальные уравнения математической физики 320

Глава 12

12.5-1. Некоторые пространства числовых последовательностей 380

12.5-2. Некоторые пространства функций x (t), y (t).............. 381

12.8-1. Истинностная таблица для булевой функции............ 389

Глава 13

13.2-1. Некоторые нормы матриц............................................ 391

Глава 14

14.7-1. Сравнение различных обозначений скаляров, векторов и линейных операторов 432

Глава 16

16.2-1. Определения тензорных величин наиболее распространенного типа, основанные на законе преобразования их компонент ................................................ 497

16.10-1. Дифференциальные инварианты, определенные в римановых пространствах 516

Глава 18

18.2-1. Вероятности логически связанных событий.............. 541

18.3-1. Числовые характеристики одномерных распределений вероятностей 545

18.7-1. Перестановки и разбиения........................................... 567

18.7-2. Сочетания и выборки................................................... 568

18.7-3. Размещения в ячейках или расположения.................. 568

18.8-1. Вырожденное (причинное) распределение ............... 571

18.8-2. Гипергеометрическое распределение......................... 571

18.8-3. Биномиальное распределение..................................... 572

18.8-4. Распределение Пуассона.............................................. 574

18.8-5. Геометрическое распределение................................... 574

18.8-6. Распределение Паскаля................................................. 574

18.8-7. Распределение Пойа..................................................... 575

18.8-8. Плотность нормального распределения (стандартизованного) 577

18.8-9. Интеграл вероятностей................................................. 578

18.8.10. Функция ошибок.......................................................... 579

18.8-11. Непрерывные одномерные распределения вероятностей 580

Глава 19

19.5-1. χ²-распределение с m степенями свободы.................. 621

19.5-2. t-распределение Стьюдента с m степенями свободы 622

19.5-3. Распределение отношения дисперсий (υ²-распределение) и связанные с ним распределения............................................................................................... 623

19.5-4. χ-распределение............................................................ 625

19.5-5. t-распределение Стьюдента......................................... 626

19.5-6. F-распределение (распределение υ²).......................... 627

19.6-1. Некоторые критерии значимости, относящиеся к параметрам ξ, σ² нормальной совокупности............................................................................................... 633

19.6-2. Доверительные границы для нормальной совокупности 634

19.6-3. Критерии значимости для сравнения нормальных совокупностей 636

19.8-1. Усредняющие фильтры................................................. 644

Глава 20

20.2-1. Таблица алгоритма разделенных разностей............... 657

20.4-1. Краткая таблица z-преобразований и преобразований Лапласа от ступенчатых функций 673

20.5-1. Интерполяционные формулы с центральными разностями 678

20.5-2. Коэффициенты интерполяционных формул.............. 680

20.6-1. Многочлены Чебышева и степени χ............................ 687

20.6-2. Приближения некоторых функций многочленами.... 688

20.6-3. Некоторые приближения цилиндрических функций 690

20.6-4. Приближения многочленами Чебышева..................... 691

20.6-5. Схема гармонического анализа на 12 ординат........... 692

20.6-6. Разные приближения.................................................... 694

20.7-1. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса, замкнутый тип 697

20.7-2. Абсциссы и веса для квадратурных формул............... 699

20.8-1. Некоторые методы Рунге — Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений.................................................................. 702

20.8-2. Некоторые методы четвертого порядка типа «предсказание — коррекция» 705

Глава 21

21.2-1. Специальные значения тригонометрических функций 720

21.2-2. Соотношения между тригонометрическими функциями различных аргументов 722

21.3-1. Интегральный синус Si (x)............................................ 732

21.3-2. St (x) и интегральный косинус Ci (x)........................... 733

21.3-3. Интегральная показательная функция......................... 734

21.4-1. Гамма-функция Г (x)..................................................... 741

21.5-1. Определение и свойства биномиальных коэффициентов 745

21.6-1. Преобразование к нормальной форме Лежандра ...... 754

21.6-2. Преобразования эллиптических интегралов.............. 758

21.6-3. Преобразования полных эллиптических интегралов 759

21.6-4. Полные эллиптические интегралы К и Ε .................. 760

21.6-5. Периоды, нули, полюсы и вычеты эллиптических функций Якоби 762

21.6-6. Специальные значения эллиптических функций Якоби 763

21.6-7. Изменение переменной на четверть и половину периода 764

21 6-8. Преобразования первого порядка эллиптических функций Якоби 766

21.7-1. Ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита 769

21.7-2. Первые ортогональные многочлены........................... 774

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ

Книгу Г. Корна и Т. Корн «Справочник по математике (для научных работников и инженеров)» отличает весьма широкий охват материала. В ней освещаются почти все вопросы как общего курса математики, так и большинства специальных разделов, изучаемых во втузах с повышенной программой по математике (векторный и тензорный анализ, криволинейные координаты, уравнения математической физики, функции комплексного переменного и операционное исчисление, вариационное исчисление, линейная алгебра, теория вероятностей и математическая статистика и т. д.). Кроме того, в книгу включены главы, посвященные современной алгебре, теории интегралов Лебега и Стилтьеса, римановой геометрии, интегральным уравнениям, специальным функциям, а также целому ряду других вопросов, далеко выходящих за рамки математической подготовки инженеров, но постепенно становящихся необходимым орудием для научных работников и инженеров-исследователей, работающих в самых разных областях. Много внимания уделено связи рассматриваемых математических проблем с прикладными дисциплинами (методы расчета и синтеза электрических цепей, линейные и нелинейные колебания и др.).

В новом издании книга подверглась весьма существенной переработке. Заново написаны главы 11 и 20 и значительная часть глав 13 и 18; и без того обширный материал книги пополнился новыми разделами: дискретное преобразование Лапласа (z-преобразование), конечные интегральные преобразования, матричные методы решения систем дифференциальных уравнений, теория устойчивости Ляпунова, математическое программирование, принцип максимума Понтрягина, шаговые задачи управления и динамическое программирование — вот далеко не полный перечень того, что добавлено авторами. Кроме того, из дополнений в книгу включены справочные сведения по геометрии и сферической тригонометрии.

Конечно, можно иметь различные точки зрения на то, какой материал следует включать в такого рода справочник; кроме того, в одной книге невозможно изложить все разделы с одинаковой степенью полноты. Однако, как нам кажется, ответы на вопросы, не нашедшие отражения в книге, следует искать уже либо в монографиях, либо в специализированных справочных руководствах (типа отдельных выпусков серии «Справочная математическая библиотека», выпускаемой Главной редакцией физико-математической литературы издательства «Наука»).

В книге принята следующая рубрикация: глава, параграф, пункт; названия всех пунктов указаны в оглавлении. Сплошная нумерация формул (и таблиц) ведется в пределах одного параграфа; соответственно этому, если в тексте нужно сослаться на формулу этого же параграфа, то указывается только ее номер. При перекрестных ссылках указывается полностью номер главы, параграфа и пункта. В конце книги приводится подробный предметный указатель, а также указатель важнейших обозначений; во всех случаях читатель отсылается к соответствующему пункту.

В процессе перевода был обнаружен ряд дефектов и неточностей; кроме того, в некоторых случаях изложение не соответствовало принятому в нашей отечественной литературе. Переводчики учитывали справочный характер книги, и для удобства читателя большинство исправлений, замен и дополнений вносилось прямо в текст. Принадлежащие переводчикам дополнения и подстрочные примечания отмечены звездочками. Пункты, подвергшиеся значительной переработке, также отмечены звездочками.

Нам пришлось в значительной мере заменить цитируемую литературу; во многих случаях ссылки делались на неизвестные нашему читателю учебные руководства. Приведенный в конце книги список литературы (ссылки на него помещены в квадратные скобки) меньше всего претендует хотя бы на относительную полноту; в него лишь включены наиболее известные издания (при этом мы сочли возможным не указывать обычные втузовские курсы математики).

Значительной переработке подверглись дополнения в книге, включающие разного рода таблицы. Ради уменьшения объема книги некоторые широко распространенные таблицы были изъяты, а остальные помещены в соответствующие разделы «Справочника». Перечень всех имеющихся в книге таблиц приведен после оглавления на стр. 20—22.

Мы признательны всем читателям, обратившим наше внимание на те или иные недочеты книги, и будем рады дальнейшим откликам на новое издание.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
КО ВТОРОМУ АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ

Новое издание «Справочника по математике» существенно расширено и дополнено оригинальным материалом. Включены новые разделы, посвященные z-преобразованию, матричным методам решения систем дифференциальных уравнений, теории устойчивости, представлению вращений, математическому программированию, теории оптимального управления, случайным процессам и т. д. Глава о численных методах почти целиком написана заново. Добавлены многие примеры и таблицы.

Эту книгу можно рассматривать, во-первых, как достаточно полное собрание математических определений, теорем и формул для научных работников, инженеров и студентов. Ею могут пользоваться читатели, стоящие на разных уровнях математического развития. Отсутствие доказательств и сжатость табличного представления родственных формул сделали возможным объединение весьма большого по объему справочного материала в одном томе.

Книга, однако, предназначена не только для наведения справок; в ней мы пытались дать связное обозрение математических методов, применяемых в различных приложениях. Каждая глава озаглавлена так, чтобы читатель мог быстро ориентироваться в данном разделе математики. Такое изложение делает текст удобным для пользования благодаря отсутствию доказательств; многочисленные ссылки открывают доступ к более детальному изучению материала книги.

Особое внимание уделяется выявлению взаимосвязи различных разделов и их роли в научных и инженерных приложениях; это достигается при помощи соответствующих вводных замечаний и перекрестных ссылок.

Авторы пытались удовлетворить запросы разных кругов читателей, разделив материал книги на три группы:

1. Наиболее важные определения и формулы, специально выделенные для наиболее быстрого их обозрения.

2. Основной текст, состоящий из сжатого и связного обзора основных результатов.

3. Более детальное обсуждение дополнительных вопросов, выделенное мелким шрифтом. При таком построении включение этого материала не нарушает структуры основного изложения.

Главы с 1 по 5 дают обзор основного курса колледжа *) по алгебре, аналитической геометрии и анализу; глава 4 содержит также изложение интегралов Лебега и Стилтьеса и рядов и интегралов Фурье, а глава 5 — векторный анализ.

Главы 6, 7 и 8 посвящены криволинейным координатам, функциям комплексного переменного и преобразованиям Лапласа. Добавлен новый материал по конечным интегральным преобразованиям и z-преобразованию.

В главах 9 и 10 излагаются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными, включая методы интегральных преобразований, метод характеристик и теорию потенциала; проблемы собственных значений трактуются в главе 15.

Глава 11 существенно изменилась; в дополнении к обычной теории экстремума и классического вариационного исчисления здесь добавлены разделы по линейному и нелинейному программированию, теории игр, теории оптимального управления, принципу максимума и динамическому программированию.

В главе 12 вводятся элементы современного абстрактного языка и описывается конструкция математических моделей, таких, как группы, кольца, поля, векторные пространства, булевы алгебры и метрические пространства. Изучение функциональных пространств, продолженное в 14-й главе, позволяет расширить применение методов функционального анализа к краевым задачам и проблемам собственных значений в главе 15.

Разделы, имеющие дело с более специальными темами, не претендуют на полноту; их цель заключается в том, чтобы познакомить читателя с сущностью определений и побудить его к чтению современной специальной литературы.

В главе 13 рассмотрены матрицы; здесь добавлены новые пункты по матричным методам решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и по теории устойчивости Ляпунова. В главе 14 рассмотрены линейные векторные пространства, линейные преобразования (линейные операторы), задачи о собственных значениях и описывается применение матриц для представления математических моделей. Дополнен материал по представлению вращений, в связи с его важностью для физики.

Глава 15 содержит изложение разделов, связанных с проблемой собственных значений, включая задачу Штурма — Лиувилля, краевые задачи для двумерных и трехмерных областей и линейные интегральные уравнения.

Главы 16 и 17 соответственно касаются тензорного анализа и дифференциальной геометрии и включают описание плоских и пространственных линий, поверхностей и кривизны пространства.

В связи с возрастающей ролью статистических методов глава 18 представляет довольно детальное изложение теории вероятностей и включает заново написанное введение в теорию случайных процессов, корреляционных функций и спектров. Глава 19 касается важнейших методов математической статистики н включает подробные таблицы формул, описывающих специальные выборочные распределения.

В новой главе 20 рассмотрены конечно-разностные методы и разностные уравнения и изложены основные методы численного анализа. Глава 21 представляет по существу собрание формул, описывающих свойства высших трансцендентных функций.

Авторы надеются и верят, что эта книга даст читателю удобный повод детально познакомиться с математическими методами и таким образом расширить свой кругозор и взглянуть на свои специальные знания с более общей точки зрения.

---

*) Что примерно соответствует общему курсу математики, изучаемому в наших втузах. (Прим. ред.)